케플러 법칙


케플러의 법칙 (Kepler's Laws of Planetary Motion)

요하네스 케플러(Johannes Kepler, 1571–1630)가 티코 브라헤의 관측 데이터를 분석하여 발견한 행성 운동의 세 가지 법칙이다.

 이 세 가지 법칙을 이야기 할 때 어려운 용어와 공식이 나오는데 그냥 케플러 법칙이 무엇인지만 알면 된다. 뒤에서 자세히 이 부분에 대해서 쉽고 자세히 설명한다. 계속 이 글을 계속 읽다보면 끝부분에서 여러분들은 황경에 해당하는 날짜를 계산할 수 있게 될 것이다.


        1. 제1법칙 — 타원 궤도의 법칙

모든 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 그린다.

원이 아닌 타원이라는 점이 핵심이다.

태양은 타원의 중심이 아니라 두 초점(focus) 중 하나에 위치한다.


           

여기서:

   a: 장반경

   b: 단반경

태양에 가장 가까운 점: 근일점(perihelion)

태양에서 가장 먼 점: 원일점(aphelion)



       2. 제2법칙 — 면적 속도 일정의 법칙

행성과 태양을 잇는 선분은 같은 시간 동안 같은 넓이를 쓸고 지나간다.



근일점 근처에서는 빠르게, 원일점 근처에서는 느리게 운동한다.

이는 각운동량 보존 법칙과 동일한 내용이다.

뉴턴 역학으로 보면, 중심력(태양의 중력)이 작용할 때 토크가 0이므로 각운동량 L = r × mv 가 보존됩니다.



간단히 표현하면

즉 단위 시간당 쓸어가는 면적이 일정하다.



        3. 제3법칙 — 조화의 법칙

행성의 공전 주기의 제곱은 궤도 장반경의 세제곱에 비례한다.

                      

              또는 두 행성 A, B를 비교하면:

                      

           ​​

T: 공전 주기, a: 타원 궤도의 장반경(semi-major axis)

의미

태양에서 멀수록 궤도가 커지고 속도가 느려지며 공전 시간이 길어진다.

예:

지구: 약 1년

화성: 약 1.88년

케플러는 당시 관측 자료를 분석해서 경험적으로 법칙을 발견했다.나중에 뉴턴이 이것을 중력 이론으로 설명했다.

특히 뉴턴은 다음 식으로 케플러 법칙을 설명했다.

                   

              

즉:

• 태양과 행성 사이의 중력이

• 행성을 타원 궤도로 움직이게 만든다는 것이다.

뉴턴의 만유인력 법칙으로 유도하면 비례 상수는  이다.

물리학적 의의

관점의의역사적코페르니쿠스의 지동설을 수학적으로 확립뉴턴과의 관계뉴턴이 역제곱 법칙(F ∝ 1/r²)을 유도하는 핵심 근거가 됨. 현대 응용인공위성 궤도 설계, 우주 탐사선 경로 계산에 그대로 활용

케플러 법칙은 순수한 관측과 수학적 귀납에서 출발했지만, 이후 뉴턴이 이를 연역적으로 증명함으로써 고전 역학의 토대가 되었다.



     케플러 제2법칙의 강력한 점


제2법칙은 단순히 “같은 면적” 이야기가 아니라, 실제로는:

행성의 순간 속도, 특정 시각의 위치, 공전 중 시간 변화

근일점/원일점에서의 속도, 궤도상의 이동 시간 등을 계산할 수 있는 핵심 법칙이다.

핵심 개념

케플러 제2법칙: “같은 시간 동안 같은 면적”이라는 말은 사실상:

                 

A: 태양-행성 선이 쓸고 간 면적

t: 시간

즉 단위 시간당 면적 증가율이 일정하다.

왜 속도를 구할 수 있는가?

행성이 태양 가까이에 있을 때는 반지름 r 이 작다.

그런데 같은 시간 동안 같은 면적을 만들어야 한다.

따라서 더 긴 호(arc)를 빠르게 지나가야 한다.

반대로 멀리 있을 때는 r 이 크므로 작은 속도로도 같은 면적을 만들 수 있다.

실제 관계식

케플러 제2법칙은 뉴턴 역학으로 바꾸면:

    L = mrv⊥

각운동량 보존으로 이어진다.

m: 행성 질량  r: 태양과 거리  v⊥ : 접선 속도 성분

즉: rv = constant(상수)

(근사적으로)

따라서 가까울수록 속도 증가 멀수록 속도 감소한다.

실제 지구 속도

Earth의 경우:

위치 속도

근일점 부근 (1월 초) 약 30.3 km/s

원일점 부근 (7월 초) 약 29.3 km/s

즉 실제로 약 1 km/s 정도 차이가 난다.

시간과 위치 계산

제2법칙은 궤도를 따라 이동한 면적과 시간이 비례한다는 뜻이므로:

              

A1 : 특정 위치까지 쓸고 간 면적  A전체 : 타원 전체 면적

t1 : 경과 시간  T: 전체 공전 주기

즉: 면적만 계산하면 시간도 계산 가능하다.

그래서 현대 천문학에서는 실제로는 이것을 더 발전시켜

평균근점이각, 진근점이각, 편심근점이각 등을 이용한다.

특히 다음 방정식이 핵심이다.

               

이것이 바로 유명한 케플러 방정식이다.

M: 시간에 비례하는 평균각 E: 편심근점이각 e: 이심률

이 식을 풀면: 특정 시간의 행성 위치, 거리, 속도를 모두 계산할 수 있다.

현대 인공위성 계산과 우주선 궤도 계산도 결국은 이 원리 위에서 이루어진다.





                                         1. 평균 근점각(Mean Anomaly)


정의 : 

근일점을 기준으로 지구의 실제 타원 궤도가아닌 가상의 원 궤도 상에서 특정한 날에 이 어느 정도의 각도로 벌어졌는가를 나타내는 각도.

실제 지구는 타원 궤도를 비등속으로 돈다. 이것을 계산하기 쉽게 등속 원운동으로 치환한 가상의 각도이다. 등속 원운동이라는 것은 속도가 일정하다는 것이고, 속도가 일정하다는 것은 각도가 균일하게(평균적으로) 증가한다는 의미이다.

즉 Mean(평균)은 빠르게 움직이는 구간과 느리게 움직이는 구간을 평균내어 균일하게 만든 각도라는 뜻이다.

그래서 평균 근점각(Mean Anomaly) 이다.

평균 근점각에 대한 식을 유도하기 위하여 다음의 비례식을 생각해보자. 

                      

      

 이 비례식에서 시간 동안 움직인 평균 각도가 이고 지구의 공전 시간은 1년인 이고 이 주기 동안의 움직인 각도는 이다.

따라서 위의 비례식이 성립된다. 이 비례식을 수식으로 표시하면 다음과 같다.

                     

따라서 평균 근점각 공식이 다음과 같이 정의된다.

                     

       

T : 지구의 공전 주기(365.25일 1년 동안 2π를 도니까 하루에 도는 각도는 2π/T)

2π/T는 하루에 증가하는 평균 근점각. 계산하면:

                    

즉 하루에 약 1°씩 균일하게 증가합니다.

t : 근일점으로부터 경과한 시간(일 단위).


     

        2.이심 근점각 E (Eccentric Anomaly) 


M은 원 궤도에서의 각도이고, 우리가 최종적으로 원하는 것은 타원 궤도에서의 실제 각도 이다.

그런데 M에서 로 직접 가는 공식이 없다. 그래서 중간 단계로 E를 도입한다.

  E의 기하학적 정의(위의 그림을 참고로 하라)

타원 궤도를 감싸는 장반경 a를 반지름으로 하는 원을 그린다.

타원 위의 실제 지구 위치에서 장축에 수직선을 올려서 그 원과 만나는 점을 잡는다. 그 점과 원의 중심이 이루는 각도가 바로 E이다. 


     1) 이심률 유도

  ① 타원의 정의

타원이란 평면 위에서 두 점 F, F`으로부터의 거리의 합이 일정한 집합이며, 두 점 F, F`을 타원의 초점이라고 한다. 그리고 를 장축이라고 하고, 를 단축이라고 한다. 

                                      

이 타원의 정의를 좌표 평면 상의 도형으로 나타낸 것이 위의 그림이다. 그리고 이것을 수식으로 나타내면 다음과 같다.

                                                           

          

위 그림에서   =  ,  = 이다. O를 원점이라고 하고 F와 를 초점이라고 한다. 그리고 점 P가 점 점 타원 궤도의 시계방향으로 움직이면 점 A에 다다르는데 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

                       

                       

   편의상  라고 하자. 

따라서  이다.

점 B에서의 위치가 P일 때 , 는 대칭이므로 

    이다.

 라고 할 때, 점 B, 원점 O, 초점 F₁이 이루는 직각삼각형에서 피타고라스의 정리에 의하여 다음과 같은 식이 성립된다.

                        


                 ② 이심률의 정의


                                        


위의 그림에서 타원과 원은 다음과 같은 관계가 형성된다. 타원의 정의에서 다음식이 성립되는 것을 다시 생각해보자.

                                      

              

포물선의 단축인 가 원의 와 같아지면 가 되고, 이 포물선은 원이 된다. 원은 장축과 단축이 같은 경우이다.

 이심률이란 타원이 원에서 어느 정도로 찌그러진 정도를 나타낸다. 이심률을 라고 하면 

                  이다. 여기에 식1을 대입하면

                  이 된다.

위에서 말한 바와 같이 이면 원이 되고 다음과 같이 변화를 보인다. c가 커지면 타원은 더 납작해지고 이심률 는 점 점 커진다.

                  → 원 (c = 0, 두 초점이 일치)

                → 타원

가 클수록 더 찌그러진 타원

타원이 원을 y축 방향으로  압축한 정도가 이심률 이므로

              이고

            압축 정도는  이므로

             

  에 식1을 대입하면

            

           

           

  압축 정도 에 식2를 대입하면

           

   따라서  

   이심률이 작을수록 원에 가까워 진다.( a = b 이면 원이다.)



 ③ 단위 시간당 쓸고 지나간 면적

    원의 넓이는 중학교 때에 배운대로 다음과 같다.

         넓이 = 반지름  반지름  3.14

    여기서 3.14는 이다. 이것을 앞에서 정의한 대로 적용하면 

  반지름은 에 해당한다. 그러므로  의 면적은 다음과 같이 쓸 수 있다.  

              

          

그런데 타원은 원을 y축 방향으로 b/a 압축한 것이므로 타원의 면적은 다음과 같다.

              

         

 태양 주위를 도는 지구 궤도가 1년 동안 평균적으로 면적은 쓸고 지나간 면적은 다음과 같이 쓸 수 있다.

              

     

따라서 시간 t 동안 쓸고 지나간 면적은 다음과 같다.

             

평균 근점각  에서  를 대입하면:

    


#보충 설명

아래 그림에서 부채꼴의 면적인 다음과 같이 구해진다.

                         



각의 크기를 나타낼 때는원의 둘레를 360등분하여 각 호의 중심각의 크기를 1도(), 1도의 분(), 1분의 육십분의 1초()로 정의하여 나타내는 방법을 육십분법이라고 한다.

 반지름의 길이가 r인 원에서 길이가 r인 호의 중심각의 크기를 라 하면 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로

   라는 비례식이 성립한다.

여기서 왼쪽 항의 r은 에 해당하는 호의 길이이다. 반지름과 같은 길이이지만 여기서는 중심각도에 해당하는 호의 길이이다.

따라서 다음과 같은 식이 성립한다.

              

             

         

여기서 는 반지름의 길이에 관계없이 항상 일정하다.

이 일정한 크기를 1라디안(radian)이라 하며, 이것을 각의 크기를 나타내는 방법을 호도법이라고 한다.

 이 호도법을 이용하여 위에 있는 그림에서 호의 길이와 넓이를 구하자.

   부채꼴의 호의 길이는 중심각 크기에 정비례하므로 다음과 같은 비례식이 성립한다. 여기서 임을 상기하다. 그리고 를 각도와 비교했으므로 를 표기할 때 각도()의 단위를 사용하지 않았음을 주의하라.

                     

           

그래서 호의 길이는 은

                    

           

이다. 부채꼴의 넓이도 중심각의 크기에 정비례하므로 다음과 같은 비례식이 성립한다.

                      

          

이 식을 정리하면 구하고자하는 부채꼴의 면적은 다음과 같다.

                    

         

     이므로 다음과 같다.

                  

         

                목표인 행성(지구)가 평균 근점각 동안 쓸고간 면적 구하기



                        



P에 위치한 행성(지구)가 평균 근점각(E)동안 태양과 행성간 연결된 선분으로 쓸고간 면적은 그림을 보면 다음과 같다.

                        

      

 이 면적은 직접 정확히 구할 수가 없으므로 이 타원과 외접한 원에서 평균근점각(E)에 대응한 면적을 먼저 구하기로 한다.      


외접원에서 원점 O를 중심으로 각도 E인 부채꼴의 면적:

                      (a가 원의 반지름, E는 이심 근점각)

원의 전체 면적 : πa² (반지름 x 반지름 x π)

전체 각도 : 2π , E : 평균 근점각(t시간 동안 벌어진 평균 각도)

다시 비례식을 만들면 다음과 같다.

                      

      

따라서

각도 E인 부채꼴 면적 

삼각형 면적

원점 O, 태양 초점 F, 장축과 수직인 선과 외접원의 교점 Q로 이루어진 삼각형:

밑변 = OF = c (원점에서 초점까지)

높이 = FQ = a sinE (수직선)

                          

     

부채꼴에서 삼각형을 빼면

                         

앞서 언급한 것처럼 이심률 이므로

                        

        

이상은 원에서의 평균근심각에서의 넓이였다. 실제로 행성은 한 초점에 있는 태양이 있는 타원 궤도를 돌고 있기 때문에 원이 타원의 압축 정도를 계상해야 한다.

원의 타원으로 압축비를 원의 평균 근심각에서의 넓이에 반영해야 하므로 당음과 같은 관계식을 얻을 수 있다. 

                         

    

케플러 제 2법칙에 의하면 단위 시간 당 쓰고 지나가는 면적이 일정하다는 것을 상기하라. 이 것을 식으로 비례식으로 표현하면 다음과 같다.

                        

                       

          

앞서 유도한 평균 근점각  을 이 식에 대입하면 다음과 같다.

        

                       

최종 대입하면

                      

                      

           

케플러 방정식이 완전히 유도된다.

마지막 단계로 E →  변환하는 것이 남아 있다.

E는 외접원 기준 각도, 는 태양(초점)을 기준으로 한 실제 타원 궤도에서의 각도이다.

타원 위의 점 P의 좌표를 이심 근점각 E로부터 다음의 관계식을 얻을 수 있다.

              x = a cosE

              y = b sinE

이것은 원의 좌표이므로 타원의 좌표로 바꾸어주어야 한다.

태양(초점 F)을 원점으로 바꾸면 태양은 타원 중심에서 c만큼 떨어져 있으므로 다음과 같다.

             = a cosE - c = a cosE - ae = a(cosE - e)

             = b sinE

진근점각 는 태양을 기준으로 한 각도이므로 

                      


이것을 정리하면:

        

                    

의미

    E = 0 (근일점) →  = 0 

    E = π (원일점) →  = π 

      = 0 (원) →  = E 

진근점각 ν는 근일점을 기준으로 벌어진 각도이다.

근일점 = 기준점 ( = 0°)

반시계 방향으로 증가

원일점에서  = 180°

한 바퀴 완료 =   = 360°

만세력과 연결하면

근일점 = 태양이 가장 가까운 점 = 1월 3일경

이것이 황경의 기준점이 아니라 근점각의 기준점 (0°)

그리고 절기와 연결하면:

입춘 = 황경 315° (근일점에서 약 315° 벌어진 지점)

춘분 = 황경 0° (황경의 기준점)

하지 = 황경 90°

추분 = 황경 180°

동지 = 황경 270°


① 근일점에서 벌어진 각도()에서 춘분점 기준(λ)으로 바꾸기

                                    

        

 = 근일점 기준 실제 각도

 = 근일점 황경 (약 102.9°, 고정 상수)

    = 황경 (탱양이 본 춘분점 기준) : 태양의 입장에서는 지구가 시계방향으로 지구가 돈다.

이것까지 하면 시간 t로부터 황경 λ를 완전히 구할 수 있습니다!

 = 근일점을 0°로 기준

 = 춘분점을 0°로 기준

두 기준점이 다르기 때문에 보정이 필요하다

근일점 황경 

춘분점(λ=0°)에서 근일점까지의 각도를 근일점 황경 ω 라고 한다.

지구의 경우:

 ≈ 102.9°

즉 춘분점에서 반시계 방향으로 102.9° 돌아간 곳에 근일점이 있다.

변환 공식

             

            

           

          

시간 t로부터 황경 λ를 완전히 구할 수 있다!

24절기는 이 λ가 15° 간격이 되는 순간의 t를 역으로 구하면 된다.

근일점과 춘분점이 다른 이유는 근일점은 태양까지의 거리로 정의된다.

지구가 태양에 가장 가까운 위치 그리고 공전 궤도의 기하학적 특성과 관련 있지만 자전축 기울기와 무관하다.

춘분점은 자전축 기울기로 정의된다.

태양이 천구 적도를 남→북으로 통과하는 순간인 황도와 천구 적도의 교점이다. 태양까지의 거리와 무관하다.

왜 일치하지 않는가?

지구 공전 궤도의 기하학적 중심(근일점)과 지구 자전축 기울기의 기준점(춘분점)은 서로 독립적인 물리량이다.

우연히 일치할 수도 있지만 지구의 경우 약 77일, 102.9° 차이가 난다.

만약 근일점이 춘분점과 일치했다면  = 0° 가 되어 보정이 필요 없었을 것이다.

 황경에 따라서 24절기의 날짜를 찾기

시간을 입력해서 황경을 구한 식은 다음과 같았다.

                      

                      

                      

      

황경을 입력해서 24절기의 시각을 아는 것은 이 것과 반대방향으로 가면된다.

  우선   이 되고.

다음은 을 E에 대하여 풀면 양변을 뒤집어져서 다음과 같은 결론이 나온다.

           

           

    

    

#보충 해설

 tan는 각도를 값으로 환산한 것이고 arctan는 값을 각도로 환산한 것이다. 

 예를 들어 tan(45) = 1이고 arctan(1) = 45인 것이다.

 즉 tan의 역함수(역탄젠트 inverse tangent)이다.

                        

다음은 앞서 수식을 증명한 것을 가져와서 

            

    

다음도 앞선 공식에서 t에 관하여 식을 세운다.

           

    이것을 t에 대해 풀면

           

         

   M은 라디안 단위의 각도(0 ~ )

      “ = 공전 궤도를 얼마나 돌았는가의 비율”

거기에 T(공전 주기)를 곱하면 경과한 시간 가 나온다. 

따라서 는 황경이 주어졌을 때 근점각에서의 날짜이다. 이것이 케플로 법칙으로 구현한 절기를 찾는 과정이었다.


그러나 케플러 방정식으로 구현하면

지구 이심률  = 0.0167

근일점 황경  = 102.9°

공전 주기 T = 365.25일

이것만으로는 오차는 10시간 내외의 정도 오차가 난다. 왜냐하면 이것은 태양과 지구의 2구체에서 계산했기 때문이다. 지구와 가장 가까운 달의 중력을 반영하지 않았기 때문이다.


24절기 태양의 황경(黃經)이 15° 간격으로 변하는 순간을 말한다. 춘분(황경 0°)에서 시작하여 청명(15°), 곡우(30°)… 순서로 1년에 24번 찾아온다. 그렇다면 이 절기의 정확한 날짜와 시각은 어떻게 계산할까? 이 글에서는 케플러 방정식에서 출발하여 최종적으로 분(分) 단위 정확도에 이르는 과정을 단계별로 보자.


시간 t로부터 황경 λ를 구하는 순서:

                                t  →  M  →  E  →  ν  →  λ

① 평균 근점각 M (시간으로부터):

                              


② 케플러 방정식 (이심 근점각 E):

                            


③ 진근점각 ν (실제 타원 궤도):

          

                            

④ 황경 λ (춘분점 기준):

                           


사용 상수:

• T = 365.2422일 (공전 주기)

• e = 0.0167 (이심률)

• ω = 102.9° (근일점 황경)

• +180°는 태양 중심 좌표계와 지구 관측 좌표계의 차이 보정


24절기 계산은 역방향입니다. 황경(0°, 15°, 30°…)이 주어졌을 때 날짜를 구한다.

                        λ  →  ν  →  E  →  M  →  t

①      

     

②   


③   


④       날짜 변환


케플러 방정식만으로 계산한 결과 (2026년)




왜 오차가 날까?

케플러 방정식은 순수한 2체 문제 (태양 + 지구만 존재)를 가정합니다. 그런데 현실에서는 달이 존재한다.

• 지구에서 38만 km 거리 (태양까지 거리의 1/400)

• 지구 질량의 1/81

• 삭망월 29.52일 주기로 지구 주위를 공전

달이 지구에 매우 가깝기 때문에 지구의 공전 궤도를 매달 흔들어댄다. 그 결과 근일점 시각이 매년 달라지고, 이것이 절기 계산의 오차로 이어진다.


천문학자 Jean Meeus는 "Astronomical Algorithms"에서 달의 중력 섭동을 포함한 태양 황경 계산 공식을 제시했다. 이 공식은 VSOP87 이론을 단순화한 것으로 세차운동, 달의 장동(Nutation) 등이 모두 반영되어 있다.

     Meeus 공식


T = J2000.0 기준 율리우스 세기 = (JD - 2451545.0) / 36525


① 평균 황경 L₀:

L₀ = 280.46646° + 36000.76983° × T + 0.0003032° × T²

② 평균 근점각 M:

M = 357.52911° + 35999.05029° × T - 0.0001537° × T²

③ 이심률 e:

e = 0.016708634 - 0.000042037 × T

④ 중심 방정식 C (달의 섭동 포함):

C = (1.914602° - 0.004817°×T) × sin(M)

  + (0.019993° - 0.000101°×T) × sin(2M)

  + 0.000289° × sin(3M)

⑤ 달의 궤도 승교점 경도 Ω:

Ω = 125.04° - 1934.136° × T

⑥ 겉보기 황경 λ (달의 장동 보정):

λ = (L₀ + C) - 0.00569° - 0.00478° × sin(Ω)

Ω는 삭망월(29.52일) 주기로 변하면서 태양 황경에 보정을 가합니다. 이것이 달의 중력 영향을 반영하는 핵심 항이다.



Meeus 공식으로 계산한 결과 (2026년)

오차가 수초 ~ 수십 분 수준으로 줄었다!




더 높은 정확도를 원한다면 NASA JPL의 DE440 천체력을 사용한다. DE440은

태양계 모든 행성의 중력 섭동, 상대성 이론 보정, 달의 세부 운동까지 포함한 수치 적분 결과이다.

1초 만세력은 바로 이 JPL DE440 데이터를 사용하여 초(秒) 단위 정확도로 24절기를 계산한다.


                    정확도 비교



24절기 계산의 핵심은 황경입니다. 케플러 방정식으로 원리를 이해하고, Meeus 공식으로 달의 영향을 보정하고, JPL DE440으로 완벽한 정확도를 얻는다.

1초 만세력은 이 원리 위에 JPL DE440을 적용하여 가장 정확한 만세력을 제공한다.

NASA JPL DE440과의 차이

JPL DE440이 더 정확한 이유:

세차운동 반영 (가 매년 변함)하고 다른 행성들의 중력 섭동 반영 (목성, 토성 등이 지구 궤도에 영향)하고 달의 중력 반영반영하며

그리고 상대성 이론 효과 반영하여야 한다. 케플러 방정식은 태양과 지구 둘만 있다고 가정하는 2체 문제이다. 실제로는 태양계 전체가 서로 영향을 준다. 

세차운동 반영 방법은 가 매년 약 0.017° 씩 변하므로 다음과 같이 보정하면 된다.

        t(t) = 102.9° + 0.017° × Δt을 보정하면 된다.

여기서 Δt는 기준 연도(2000년)로부터 경과한 연수이다.

오차 예상는 케플러 방정식만 수십 분 오차가 나고

세차운동 반영 = 1~2분 오차가 난다. 행성 섭동 반영은 수 초 오차를 낸다.

JPL DE440은 1초 이내 오차가 난다. 그래서 “1초 만세력”은 이것을 기준으로 절기를 계산했다.

절기는 원래 날짜 단위로 사용하는 것이고, 1~2분 오차는 실용적으로 전혀 문제없다


 

         자, 그럼 실전에 돌입한다. 

          황경 

            황경 

                       

                      

                       = - 282.9

     가 음수 이므로 의 값을 360로 바꾸어주면

                       

                           = 77.1

                      에

     = 77.1을 대입하면

     = 76.169

     = 75.24 = 1.313184

     = 76.3355일

  정확한 근일점에서의 시각은 2026년 1월 4일 02시 00분 00초이므로 이 근일점에서 시간이 흐른 뒤에 춘분이므로  = 76.3355일을 양력 달력에 맞추어 며칠인지를 따지면 양력의 춘분 시각을 구할 수 있다.

    2026년 1월 달은 31일, 2월 달은 28일의 날 수를 가지므로

2026년 1월 4일부터 2월까지 날수를 세면 

   (31 –4 + 1) + 28 = 56일이다. 춘분의 날짜는 76일이므로

76 – 56 = 20일이다. 따라서 2026년도의 춘분 날짜는 3월 20일이다. 다음은 시각을 구하자. 

춘분의 나머지 시각은

 0.3355은 일단의 이므로 0.3355 * 24 = 8.052이다.

일단 8시간이고 나머지가 0.052이므로 이젠 분을 계산하면 

0.052*60  =  3.12이므로 3분이고 나머지는 0.12이므로 이것을 초로 계산하면 0.12*60 = 7.2초 이므로 7초이다.

물리하과 수학은 이렇게 엄밀히 계산된다.

춘분의 날짜를 제외한 순수한 시간은 08시 03분 07초이므로 근일점 시간의 경과를 이 시간에 더해야 한다. 따라서 다음과 같이 최종적인 춘분의 시간이다.

    근일점 시간 + 춘분 시간 = 

    = 02시 00분 00초 + 08시 03분 07초 

    = 10시 03분 07초다.

 따라서 케플러 법칙으로 구한 춘분의 시각은 

2026년 3월 20일 10시 03분 07초이다. 그런데 실질적으로 2026년도의 춘분의 시각은 3월 20일 23시 45분 57초이다.

11시간 20분 50초의 오차가 생긴다. 이것은 앞서 말한 바와 같이 태양과 지구의 2구체의 문제로 가정해서 춘분의 날짜를 계산했기 때문이다. 태양과 지구 그리고 달을 포함하는 3구체를 가정해서 계산한 결과는 위의 표와 같다. 7분의 오차가 생긴다. 11시간 3분 50초를 보정한 것이다.